En primer lugar, los autores establecen el modelo de movimiento de un TSS de tipo cadena de 3 cuerpos en una órbita elíptica de baja excentricidad. Se hacen dos suposiciones: (a) las amarras son sin masa; (b) solo se considera el movimiento planar. El modelo propuesto consta de 3 masas puntuales (m1, m2 y m3) y 2 amarras sin masa (L1 y L2), como se ilustra en la Fig. 1. La órbita de m1 se define por su distancia geocéntrica orbital r y la anomalía verdadera α; la posición de m2 relativa a m1 está determinada por la amarra L1 y el ángulo de libración en el plano θ1; la posición de m3 relativa a m2 está determinada por L2 y θ2. El modelo dinámico del TSS de 3 cuerpos se deriva usando la formulación lagrangiana, y las ecuaciones de movimiento se expresan en la forma de Euler-Lagrange como M(q)q̈ + C(q,q̇)q̇ + G(q) = Q con coordenadas generalizadas q = (r, α, θ1, θ2, L1, L2)T, donde también se considera la fuerza no conservativa que incluye la resistencia atmosférica y la presión de radiación solar. Dado que el modelo TSS en es un sistema típico subactuado, las coordenadas generalizadas se descomponen en 2 partes, es decir, los vectores de configuración actuados (qa = (L1, L2)T) y los vectores de configuración no actuados (qua = (r, α, θ1, θ2)T).
Fig. 1. Modelo del sistema de satélite amarrado de tipo cadena de 3 cuerpos.
Luego, los autores introducen una nueva ley de despliegue de control deslizante de modo jerárquico (HSMC) para el TSS de tipo cadena de 3 cuerpos. Para la estrategia de despliegue, los satélites se eyectan uno por uno, para evitar colisiones y aplicar las técnicas de despliegue utilizadas para un sistema de 2 cuerpos directamente al solo elemento. Aquí, se selecciona un esquema de despliegue simple y eficiente, que combina la ley de despliegue exponencial y uniforme. El teorema de recurrencia de Poincaré, la estabilidad de Poisson y la condición de rango del álgebra de Lie (LARC) se utilizan para analizar la controlabilidad del sistema TSS subactuado. Cuando el modelo de movimiento del TSS se convierte a la forma del espacio de estados ẋ = f(x) + g(x)u, se puede demostrar que f(x) es débilmente positivamente estable de Poisson en base al teorema de recurrencia de Poincaré y el sistema cumple con LARC a través de corchetes de Lie complejos. Por lo tanto, el TSS subactuado es controlable. Durante el proceso de despliegue, la tensión positiva debe garantizarse debido a la amarra característica, y para evitar la ruptura de la amarra, la tensión no podría exceder los límites dados. Para abordar esta limitación, se diseñó un controlador para un seguimiento preciso de la trayectoria. El marco del controlador se muestra en la Fig. 2. En el controlador, se introduce un sistema auxiliar para mitigar la saturación de entrada causada por la restricción de tensión de la amarra. Se construye una superficie deslizante de 3 capas para todo el TSS. Se introdujo un observador de perturbaciones (DO) para estimar la señal de segunda derivada q̈. La incertidumbre de la superficie deslizante y su derivada temporal para el movimiento orbital (r,α) se estima mediante un diferenciador robusto basado en el modo deslizante.
Fig. 2. Esquema del marco de control de despliegue.
Finalmente, los autores presentan la simulación numérica y sacan la conclusión. Para verificar la efectividad del esquema de despliegue propuesto (marcado como Esquema 3), se utilizaron 2 esquemas de despliegue alternativos para la comparación. En el Esquema 1, el sistema se considera como 2 cuerpos independientes de 2, en el que la longitud de la amarra L2 permanece constante, y solo la tensión T1 es ajustable. En el Esquema 2, el sistema se considera como dos cuerpos de 2, pero el acoplamiento entre las amarras adyacentes se descuida. Es decir, la amarra L1 solo afecta el ángulo θ1 y L2 solo afecta θ2. En los Esquemas 1 y 2, se adopta el controlador de despliegue en la literatura. Los resultados muestran que el error de despliegue de la amarra y el ángulo de libración convergen a cero asintóticamente en 3 h (un poco más de un período orbital) bajo el Esquema 3, y el error de despliegue bajo los Esquemas 1 y 2 es bastante mayor que el del Esquema 3 propuesto. Se realiza una comparación entre los Esquemas 2 y 3 basada en la integración del error de seguimiento y la tensión de la amarra, y los resultados normalizados se ilustran en la Fig. 3. En comparación con el Esquema 2, el HSMC propuesto toma explícitamente en cuenta el acoplamiento del TSS de 3 cuerpos, lo que da como resultado un despliegue de la amarra más rápido y preciso con un ángulo en el plano más pequeño, lo que demuestra además que se logra un proceso de despliegue bastante mejor bajo el esquema propuesto, y confirma la efectividad del esquema de despliegue propuesto.
Fig. 3. Error e integral de tensión en los Esquemas 2 y 3.
